標題:
兩題機率問題+一題數論
發問:
我有三題答不出來的數學想要問問大家～ 1. 任意而獨立地用1、2、3、4、或5代入二階行列式↙ ｜ａｂ｜ ｜ｃｄ｜的四個成分ａ、ｂ、ｃ、ｄ中，則所得的行列式值為奇數的機率為？ 2. 從1～20的自然數中，任取相異三數，若假設每個字被取的機會相等，則取出的數中任兩個數都至少差３(包含３)的機率為？ 我知道這題的分母是C(20，3)... 3. 將50！化為Ｎ?３^k，其中Ｎ為自然數，且不為3的倍數，則k=？ 更新: 1 625分之288 2. 57分之28 3. 我個人沒答案.. 更新 2: 給兩位回答者： 謝謝你們的回答，但我難從中選出其一。 所以交給群眾來票選吧。 謝謝你們。
樣本空間: 5^4 = 625 行列式之值為 ad – bc 欲形成奇數 則 奇數 – 偶數 ~ 3 * 3 * ( 2 * 5 + 5 * 2 – 2 * 2 ) = 144 或 偶數 – 奇數 ~ ( 2 * 5 + 5 * 2 - 2 * 2 ) * 3 * 3 = 144 (144+144)/625 = 288/625 因此, 行列式值為奇數之機率為 288/625 --------------------- 樣本空間: C(20,3) = 1140 設三數為 a, b, c ( a ＜ b ＜ c ) 當 a = 1, b = 4 則 c = 7 ~ 20 14 種組合 當 a = 1, b = 5 則 c = 6 ~ 20 13 種組合 ................................................. 當 a = 1, b = 17 則 c = 20 1 種組合 ------------------------------------------------ 共 105 種組合 當 a = 2, b = 5 則 c = 8 ~ 20 13 種組合 當 a = 2, b = 6 則 c = 9 ~ 20 12 種組合 ................................................. 當 a = 2, b = 17 則 c = 20 1 種組合 ------------------------------------------------ 共 91 種組合 ................................................. ................................................. 當 a = 14, b = 17 則 c = 20 共 1 種組合 f(x) = 105 + 91 + 78 + 66 + 55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 560 560/1140 = 28/57 因此, 選出之三數中, 任兩數相差 3 之機率為 28/57 P.S 此題目前尚未想到有任何以機率之解法, 只能以土法煉鋼, 想到再補給您 --------------------- 50! = N *3^k, N 不為 3 之倍數 首先將 3 之倍數選出 ~ 3, 6, 9, ....... , 48 [48/3] = 16 [48/9] = 5 [48/27] = 1 k = 16 + 5 + 1 = 22 因此, k = 22 [ ] 為高斯函數 http://tw.myblog.yahoo.com/jw!JCVbjQyaBRbXTWOakincl1.Wpxbobg--/article?mid=3557&prev=582&next=3549 P.S PO 上知識+ 一定會對不準, 若不介意, 麻煩您直接看部落格 2008-06-29 22:18:53 補充： 看不懂的部分再問吧!
其他解答:
(1)任意而獨立地用1、2、3、4、或5代入二階行列式↙ ｜ａｂ｜ ｜ｃｄ｜的四個成分ａ、ｂ、ｃ、ｄ中，則所得的行列式值為奇數的機率為？ [個人解法] 此行列式值 = ad－bc 要為奇數，必為「偶減奇」或「奇減偶」 1*1=1, 1*2=2, 1*3=3, 1*4=4, 1*5=5 2*1=2, 2*2=4, 2*3=6, 2*4=8, 2*5=10 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12, 3*5=15 4*1=4, 4*2=8, 4*3=12, 4*4=16, 4*5=20 5*1=5, 5*2=10, 5*3=15, 5*4=20, 5*5=25 上面是1到5任兩個可重複相乘的所有結果。 相乘為偶數的組合有16組；為奇數的有9組 所以共有16*9＋9*16＝288組 機率為 288/(54)＝288/625 === (2)從1～20的自然數中，任取相異三數，若假設每個字被取的機會相等，則取出的數中任兩個數都至少差３(包含３)的機率為？ 我知道這題的分母是C(20，3)... [個人解法] 假設此三個數字由小到大排列為ABC 當B為4時，A=1，C=7到20：1*14＝組 當B為5時，A=1,2，C=8到20：2*13＝26組 當B為6時，A=1到3，C=9到20：3*12＝36組 (發現：當B往下1個，A就多1個，C就少1個) 所以總數等於 Σk*(15－k) |k從1到14 ＝15*(14*15/2) － 14*15*29/6 ＝560 機率＝560/C(20,3)＝28/57 === (3)將50！化為Ｎ?３^k，其中Ｎ為自然數，且不為3的倍數，則k=？ [個人解法] 1到50裡面，3的倍數有：3*1, 3*2, 3*3, ... , 3*16 50!＝(3*1)(3*2)(3*3)...(3*16)(非3倍數) ＝(316)(1*2*3*...*16)(非3倍數) ＝(316)(3*1)(3*2)...(3*5)(非3倍數) ＝(316)(35)(3)(非3倍數) ＝322*非3倍數 故 k ＝ 22|||||有答案嗎?CD51EBF2FDB84E83
兩題機率問題+一題數論
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我有三題答不出來的數學想要問問大家～ 1. 任意而獨立地用1、2、3、4、或5代入二階行列式↙ ｜ａｂ｜ ｜ｃｄ｜的四個成分ａ、ｂ、ｃ、ｄ中，則所得的行列式值為奇數的機率為？ 2. 從1～20的自然數中，任取相異三數，若假設每個字被取的機會相等，則取出的數中任兩個數都至少差３(包含３)的機率為？ 我知道這題的分母是C(20，3)... 3. 將50！化為Ｎ?３^k，其中Ｎ為自然數，且不為3的倍數，則k=？ 更新: 1 625分之288 2. 57分之28 3. 我個人沒答案.. 更新 2: 給兩位回答者： 謝謝你們的回答，但我難從中選出其一。 所以交給群眾來票選吧。 謝謝你們。
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最佳解答:樣本空間: 5^4 = 625 行列式之值為 ad – bc 欲形成奇數 則 奇數 – 偶數 ~ 3 * 3 * ( 2 * 5 + 5 * 2 – 2 * 2 ) = 144 或 偶數 – 奇數 ~ ( 2 * 5 + 5 * 2 - 2 * 2 ) * 3 * 3 = 144 (144+144)/625 = 288/625 因此, 行列式值為奇數之機率為 288/625 --------------------- 樣本空間: C(20,3) = 1140 設三數為 a, b, c ( a ＜ b ＜ c ) 當 a = 1, b = 4 則 c = 7 ~ 20 14 種組合 當 a = 1, b = 5 則 c = 6 ~ 20 13 種組合 ................................................. 當 a = 1, b = 17 則 c = 20 1 種組合 ------------------------------------------------ 共 105 種組合 當 a = 2, b = 5 則 c = 8 ~ 20 13 種組合 當 a = 2, b = 6 則 c = 9 ~ 20 12 種組合 ................................................. 當 a = 2, b = 17 則 c = 20 1 種組合 ------------------------------------------------ 共 91 種組合 ................................................. ................................................. 當 a = 14, b = 17 則 c = 20 共 1 種組合 f(x) = 105 + 91 + 78 + 66 + 55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 560 560/1140 = 28/57 因此, 選出之三數中, 任兩數相差 3 之機率為 28/57 P.S 此題目前尚未想到有任何以機率之解法, 只能以土法煉鋼, 想到再補給您 --------------------- 50! = N *3^k, N 不為 3 之倍數 首先將 3 之倍數選出 ~ 3, 6, 9, ....... , 48 [48/3] = 16 [48/9] = 5 [48/27] = 1 k = 16 + 5 + 1 = 22 因此, k = 22 [ ] 為高斯函數 http://tw.myblog.yahoo.com/jw!JCVbjQyaBRbXTWOakincl1.Wpxbobg--/article?mid=3557&prev=582&next=3549 P.S PO 上知識+ 一定會對不準, 若不介意, 麻煩您直接看部落格 2008-06-29 22:18:53 補充： 看不懂的部分再問吧!
其他解答:
(1)任意而獨立地用1、2、3、4、或5代入二階行列式↙ ｜ａｂ｜ ｜ｃｄ｜的四個成分ａ、ｂ、ｃ、ｄ中，則所得的行列式值為奇數的機率為？ [個人解法] 此行列式值 = ad－bc 要為奇數，必為「偶減奇」或「奇減偶」 1*1=1, 1*2=2, 1*3=3, 1*4=4, 1*5=5 2*1=2, 2*2=4, 2*3=6, 2*4=8, 2*5=10 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12, 3*5=15 4*1=4, 4*2=8, 4*3=12, 4*4=16, 4*5=20 5*1=5, 5*2=10, 5*3=15, 5*4=20, 5*5=25 上面是1到5任兩個可重複相乘的所有結果。 相乘為偶數的組合有16組；為奇數的有9組 所以共有16*9＋9*16＝288組 機率為 288/(54)＝288/625 === (2)從1～20的自然數中，任取相異三數，若假設每個字被取的機會相等，則取出的數中任兩個數都至少差３(包含３)的機率為？ 我知道這題的分母是C(20，3)... [個人解法] 假設此三個數字由小到大排列為ABC 當B為4時，A=1，C=7到20：1*14＝組 當B為5時，A=1,2，C=8到20：2*13＝26組 當B為6時，A=1到3，C=9到20：3*12＝36組 (發現：當B往下1個，A就多1個，C就少1個) 所以總數等於 Σk*(15－k) |k從1到14 ＝15*(14*15/2) － 14*15*29/6 ＝560 機率＝560/C(20,3)＝28/57 === (3)將50！化為Ｎ?３^k，其中Ｎ為自然數，且不為3的倍數，則k=？ [個人解法] 1到50裡面，3的倍數有：3*1, 3*2, 3*3, ... , 3*16 50!＝(3*1)(3*2)(3*3)...(3*16)(非3倍數) ＝(316)(1*2*3*...*16)(非3倍數) ＝(316)(3*1)(3*2)...(3*5)(非3倍數) ＝(316)(35)(3)(非3倍數) ＝322*非3倍數 故 k ＝ 22|||||有答案嗎?CD51EBF2FDB84E83
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